Лекція 11. Засади передачі сигналів двійкових даних
Курс “Теорія інформації та кодування”

В цій лекції ми приступаємо до розгляду особливостей передачі сигналів. Зокрема, ми познайомимось із загальними властвостями двійкових сигналів, частотною моделлю взаємодії сигналу та каналу, підходами до розпізнавання сигналів на тлі шуму, а також з інформаційною моделлю безперервного каналу та визначенням його пропускної здатності.

Основні особливості передачі сигналів двійкових даних
Аналіз передачі сигналів з використанням частотного представлення
Аналіз безперервного каналу (передача сигналів)
Огляд класифікації та застосування

11.1 Основні особливості передачі сигналів двійкових даних

Види дискретних сигналів
Для передачі двійкових даних використовуються імпульсні сигнали. Вони можуть передаватись безпосередньо (такий спосіб застосовується при передачі кабельними каналами та при записи даних для зберігання), або з використанням високочастотних сигналів-носіїв (так передаються радіосигнали в ефірі) — рис.11.1:

Рисунок 11.1 Види дискретних сигналів

- зазвичай імпульсний сигнал несе значення одного двійкового розряду при цьому швидкість передачі визначається тривалістю такту V = 1/T. Це можна розглядати як нанесення інформаційної складової на регулярну «несучу» послідовність імпульсів (широко використовується термін імпульсна модуляція). Так розглянутий спосіб передачі коду за допомогою імпульсних сигналів називають "сигнал PCM" (ІКМ);

- застосовуються різні види несучих імпульсних сигналів. Зокрема, вони можуть бути однополярним або біполярними, їх тривалість може збігатися з тривалістю такту передачі або обіймати лише частина такого такту. Крім амплітуди інформаційним параметром може бути фаза (напрямок зміни полярності). Все це визначає набір видів ІКМ, вибір яких залежить від умов передачі. Надалі ми познайомимося з різновидами сигналів PCM та їх застосуванням;

- для передачі двійковій-кодованих коду в ефірі в якості несучого сигналу використовуються радіохвилі. Найпростіша хвиля описується гармонійної функцією (зокрема, синусоїдою). При цьому імпульсні інформаційні сигнали модулюють один з трьох параметрів такої несучої - амплітуду, частоту або фазу (перші два варіанти відображені на рис.11.1). Відповідні види модуляції знову-таки різняться за своїми властивостями і вибираються в залежності від умов передачі. Далі ми познайомимося з ними детально;

- використання несучих коливань в першу чергу створює можливість ефективного перенесення інформаційних сигналів в певних середовищах (наприклад, в ефірі). Але крім того воно створює принципово важливу можливість паралельної передачі множини інформаційних потоків в загальному середовищі (нам це добре знайоме з досвіду використання радіо, де налаштування на різні несучі частоти дозволяє слухати різні передачі). Знову-таки, ми розберемося в відповідних механізмах.

Загасання сигналів
Особливості загасання сигналів при передачі на відстань відображені на рис.11.2:

Рисунок 11.2 Загасання сигналів із відстанню передачі

- при взаємодії з фізичним середовищем енергія сигналу розсіюється, а його амплітуда і потужність швидко згасають у відповідності до експоненціального закону. Якщо використовувати логарифмічну міру, то залежність загасання від відстані передачі буде лінійної, що зручно для виконання розрахунків;

- важливо, що величина загасання істотно зростає зі збільшенням частоти переданого сигналу. Дійсно, на більш високій частоті сигнал природно втрачає більше енергії на взаємодію з "інертним" середовищем (це легко уявити по аналогії з плавцем, які повинен витрачати більше енергії, збільшуючи частоту гребків);

- на практиці широко використовується питомий коефіцієнт загасання сигналу в децибелах на одиницю довжини. Наприклад, типові значення для широко застосовується в локальних мережах кручений пари категорії 5 при передачі на частоті 100 МГц становить 23,6 дБ на 100 метрів. Це означає, що потужність сигналу, прийнятого в кінці стандартного сегмента такої довжини буде ослаблена приблизно в 230 разів у порівнянні з переданої. Для електричного кабелю, що застосовується в кабельному телебаченні, загасання на тій же частоті становить 5 дБ/км. Це відповідає ослаблення потужності сигналу в 10 разів на відстані 2 км. Таким чином, для різних фізичних середовищ передачі величина загасання може змінюватися в широких межах.

Викривлення форми сигналів при передачі
Важливим фактором, що ускладнює вірне розпізнавання імпульсних сигналів є закономірне викривлення форми, яке виникає перш за все внаслідок більшого загасання їх високочастотних складових (рис.11.3):

Рисунок 11.3 Викривлення форми сигналів при передачі

- типове викривлення прямокутного імпульсу виглядає як його "розтікання" (рис.11.3а) Воно зростає із збільшенням відстані передачі, а також її швидкості (відповідні механізми для різних типів фізичного середовища ми детально розглянемо пізніше). Однак, оскільки форма сигналу відома, її можна відновляти. Зокрема, в системах зв'язку через певну відстань передбачають так звану регенерацію сигналів, яка включає їх підсилення та відновлення вихідної форми. В будь-якому разі важливим є встановлення максимальної відстані передачі, при якій сигнал буде вірно розпінаватись;

- інший фактор викоривлення, який може суттєво ускладнювати розпізнавання сигналів, це так звана міжсигнальна інтерференція (рис.11.3б). Внаслідок їх «розтікання» попередні сигнали можуть впливати на форму наступних. При досить високих швидкостях передачі це може призвести до пропусків відносно коротких сигналів, як це можна бачити в прикладі на рис.11.3б. Для боротьби з таким явищем використвують спеціальні форми сигналів, які ми надалі будемо розглядати.

Вплив завад (шуму) в каналі передачі
При передачі у фізичному середовищі на інформаційні сигнали накладається так званий «шум». На відміну від закономірних викривлень сигналів, які ми розглянули рані, шум створює випадкові зміни їх форми, що може суттєво ускладнювати розпізнавання (рис.11.4):

Рисунок 11.4 Вплив шуму на передачу сигналів

- основними джерелами шуму в каналі можуть бути випадкові завади, які виникають в середовищі внаслідок фізичних процесів незалежних від передачі (наприклад, завади в радіо-ефірі) або під впливом інших каналів зв'язку (так звані наведення). Також подібні завади може створювати власно апаратура каналу. Особливою категорією тут є так звані «теплові» шуми, які неодмінно супроводжують фізичні процеси в каналі (наприклад, роботу електронного обладнання) і не можуть бути повністю усунені;

- за способом накладання на сигнал завади розділяють на аддитивні, які сумуються із корисним сигналом, та мультиплікативні, які математично відображуються коефіцієнтом масштабування, що має випадкове значення. Найбільш поширеними є аддитивні завади і саме їх здебільшого аналізує теорія;

- локалізація завад в часі або за областю спектру є важливим фактором, оскільки вона суттєво спрощує протидію шуму. В цьому аспекті найбільш складним випадком є так званий «білий шум», який існує в каналі постійно і має рівномірно розподілений спектр. Саме в такому випадку вплив шуму є набільш непередбачуваним, а отже й протидія йому максимально ускладнюється. Теорія розглядає завадостійкість сигналів саме відносносно «білого шуму». На рис.11.4 показаний приклад такого типу завад, де видно, що розподіл щільності їх потужності є гауссовим.

11.2 Аналіз передачі сигналів з використанням частотного представлення

Спектри періодичних сигналів
Для аналізу взаємодії сигналу з каналом передачі принципово важливо використовувати його частотне (спектральне) подання. Ми почнемо аналіз з простих спектрів періодичних сигналів, зокрема на прикладі періодичної послідовності прямокутних імпульсів — рис.11.4:

Рисунок 11.5 Приклад дискретного спектру періодичного сигналу

- принципово важливий теоретичний результат (який пов'язують з ім'ям математика Фур'є) полягає в тому, що будь-яка періодична функція x(t) з періодом T може бути представлена сумою гармонік, чиї частоти кратні так званій основній частоті f1 = 1/T (f2 = 2*f1 , f3 = 3*f1 , ... fk = k*f1), а амплітуди Xk можуть бути визначені за параметрами функції x(t) на одному періоді її завдання;

- оскільки спектр періодичної функції є сумою спектрів гармонік із частотами fk, він має «гратчастий» вигляд із кроком зміни f1 частоти. Як можна бачити на прикладі рис.11.4, більш низькочастотні складові відображують основу форми сигналу, а більш високочастотні — уточнюють цю форму;

- відповідно відновлений за обмеженим спектром сигнал x*(t) буде наближенням до вихідного сигналу x(t). Таке наближення є тим точнішим, чим більша кількість гармонік з частотами fk прийняли участь у відновленні. При цьому платою за точність є ширина спектру.

Як ми вже знаємо, періодичні сигнали в принципі не можуть нести інформацію (вони повністю передбачувані). Однак, вони можуть бути носіями інформаційних сигналів, так що спектри періодичних сигналів мають для нас не тільки теоретичну, а й практичну цінність.

Спектри прямокутних імпульсів
На відміну від дискретних ("ґратчастих") спектрів періодичних сигналів спектри апериодичних (інформаційних) сигналів є безперервними. На рис.11.5 показані формули безперервного спектрального перетворення і відображений важливий в практичному відношенні випадок спектра прямокутного імпульсу:

Рисунок 11.6 Безперервне спектральне перетворення та спектр прямокутних імпульсів

- безперервне перетворення Фур'є (БПФ) можна трактувати як граничний випадок дискретного перетворення (ДПФ), де основна частота прагне до 0, в результаті чого «гратчаста» функція дискретного спектра зливається в безперервну "поверхню". Отже спектр неперіодичного сигналу є безперервним;

- якщо підставити в формулу прямого БПФ аналітичний опис прямокутного імпульсу, то спектр матиме форму, показану на рис.11.5. Формально такий спектр симетричний щодо нульової частоти (на практиці точкою симетрії може бути частота несучого гармонійного сигналу). Характерна особливість форми спектра полягає в тому, що функція спектральної щільності прагне до 0 в точках, де частота дорівнює зворотній величині тривалості імпульсу τ (образно можна уявити це як траєкторію м'ячика, що відскакує від поверхні);

- ширина спектру ідеального прямокутного імпульсу вочеидь безкінечна. Однак для практики широко використвується поняття «ефективної ширини спектру», яка містить переважну частину енергії сигналу. За погодженням для прямокутних імпульсів за ефективну ширину Δfc береться інтервал частот, який відповідає головному «пелюстку» функції спектральної щільності. Зокрема для фізичної частини спектру Δfc = 1/τ (рис 11.5). В такому інтервалі міститься біля 90% енергії прямокутних імпульсів.

Частотна модель каналу
Для практичних розрахунків взаємодії сигналу із середовищем передачі використовують просту математичну модель, в якій канал представляється у вигляді частотного фільтра (рис.11.6):

Рисунок 11.7 Частотна модель каналу передачі сигналів

- в моделі відображається часове і спектральне подання вхідного і вихідного сигналу — x(t)-X(f) та y(t)-Y(f), а також перетворючого елемента (фільтра), який задається передавальної характеристикою h(t)-H(f). Використання частотного представлення дозволяє суттево спростити математичний апарат, оскільки вплив фільтру в цьому випадку відображується простим перемноженням спектру вхідного сигналу на частотну характеристику фільтру — Y(f)=H(f)*X(f);

- максимально простою моделлю впливу каналу є його ідеалізована ступінчаста частотна характеристика, коли в певній частотній смузі (зокрема від 0 до так званої «верхньої частоти зрізу» fзв) канал пропускає сигнал без змін (коефіцієнт передачі H=1), а при більш високих частотах повністю заперечує проходженню сигналу (H=0). Таку модель прийнято називати ідеалізованим фільтром високих частот;

- реальні частотні характеристики каналів зазвичай передбачають поступове зниження коефіцієнта передачі. Це зокрема відображує формула так званого «фільтра Баттерворта» (рис.11.6), де нахил характеристики фільтру відображається параметром n (при n→∞ характристика фільтру прагне до ідеальної).

Таким чином, існує досить простий математичний апарат, що дозволяє розраховувати вплив каналу передачі сигналів на форму останніх. Надалі ми розглянемо результати такого аналізу, які дозволяють погоджувати характеристики сигналів та каналів їх передачі.

Погодження частотних характеристик сигналу і каналу
Спираючись на уявлення про форму спектра імпульсного сигналу і характеристики каналу як частотного фільтра, розглянемо їх погодження з позицій компромісу між якістю передачі та потрібною шириною частотної смуги (рис.11.7):

Рисунок 11.8 Погодження спектру сигналу та частотної смуги каналу передачі

- якщо ширина смуги частот Fk , яка виділяється в каналі для передачі сигналу, набагато більша, ніж ефективна ширина спектру сигналу Δfc, то спотворення форми імпульсного сигналу може бути досить незначним. Але з позицій практики передачі сигналів задача полягає у вірному розпізнаванні їх значень, отже збереження вихідної форми імпульсів не дає суттєвих переваг. Виходячи з цього ширину частотної смуги каналу в цьому випадку можна вважати надмірною;

- якщо ширина частотної смуги каналу Fk напроти менша за ефективну ширину спектру Δfc (як на рис.11.7в), то при передачі імпульсів відбувається не тільки значне викривлення їх форми, а суттєва втрата енергії, що ускладнює вірно розпізнавання сигналів на тлі шуму. Таку ширину частотної смуги каналу можна вважати недостатньою;

- розумним компромісом, який відповідає поняттю погодженості властивостей сигналу та каналу є умова, коли більша доля енергії спектру опиняється всередині частотної смуги каналу (як на рис.11.7б). Такому варіанту відповідає умова Δfc ≈ Fk;

- нагадаємо, що для прямокутних імпульсів ефективна ширина спектру безпосередньо визначається їх тривалістю τ (Δfc=1/τ), а отже вона є пропорційною до швидкістю передачі сигналів. Таким чином, виділена ширина частотної смуги каналу може обмежувати швидкість передачі в ньому.

11.3 Завадостійкість сигналів

Підходи до оцінювання завадостійкості
Якщо спектральні моделі дозволяють аналізувати закономірні викривлення форми сигналів в каналі, то для оцінювання вірності передачі на тлі шуму використвуються зовсім інші підходи (рис.11.9):

Рисунок 11.9 Базові поняття щодо завадостійкості сигналів

- під завадостійкістю сигналів розуміється їх здатність протистояти шуму при передачі. У випадку передачі дискретних сигналів, який є найбільш важливим в нашому курсі, йдеться зокрема про можливість вірного розпізнавання значень сигналів. Для інших випадків можуть бути актуальними задачі виявлення сигналів (як наприклад в локації) або оцінювання їх неперервних параметрів (як при роботі з аналоговими сигналами);

- критерієм завдостійкості у випадку розпізнавання дискретних сигналів зазвичай слугує імовірність помилок розпізнавання. Тут виявляється важливий момент: один сигнал може нести декілька бітів інформації (наприклад, якщо при розпізнаванні розрізняються 4 значення сигналу, він здатен нести 2 біти). Отже імовірність помилок можна розглядати відносно сигналів або відносно бітів. Останній підхід є більш універсальним і ми будемо спиратись саме на нього;

- розлічають потенціїну та реальну завадостійкість сигналів. В першому випадку йдеться про теоретичну межу завадостійкості за умовою оптимального розпізнавання сигналів на тлі «білого шуму» - саме цей варіант найбільше цікавить теорію. Реальна завадостійкість як правило нижча за потенційну;

- основними факторами, які визначають рівень завадостікості сигналу, є перевищення потужності корисного сигналу над шумом в точці прийому, а також форма сигналу. Щодо потенційної завадостійкості, перший параметр для дискретних сигналів зазвичай оцінюють через співвідношенням енергії бітового сигналу та щільності «білого шуму» (Eb/No).

Типові характеристики імовірностей помилок
На рис.11.10 показані типові характеристики потенційної завадостійкості для простих імпульсних сигналів:

Рисунок 11.10 Характеристики вірності розпізнавання двійкових імпульних сигналів

- зазвичай завадостійкість сигналів відображається залежностями імовірностей бітових помилок від перевищення сигнал/шум (зокрема значення Eb/No) в децибелах. Зважаючи на їх вигляд, такі залежності часто називають «водоспадними»;

- відображені на рис.11.10 залежності побудовані виходячи із того, що імовірність pb визначається гаусовим розподілом щільності «білого шуму». На це вказує зокрема функція Q(x), де значення параметру x задається саме співвідношенням Eb/No. Зокрема, при збільшенні такого аргументу у випадку уніполярних сигналів відповідне значення імовірності зменщується;

- для різних типів сигналів вони характристики завадостійкості мають східну форму, але різняться за парметрами. Так в нашому прикладі видно, що біполярні сигнали мають суттєво вищу завадостійкість порівняно із уніполярними при тій самій енергії бітового сигналу. Зокрема, для забезпечення імовірності pb=10-6 для уніполярних сигналів потрібна енергія на 3 дБ вища, ніж для біполярних. Надалі в подібний спосіб ми будемо порінювати сигнали різних типів.


11.4 Аналіз безперервного каналу (передача сигналів)

Модель передачі по безперервному каналу
Модель передачі по безперервному каналу використовується в основному для аналізу передачі сигналів у фізичному середовищі. Модель характеризує рис.11.11:

Рисунок 11.11 Інформаційна модель безперервного каналу із шумом

- Перетворювач формує безперервний сигнал x (t) виходячи з одержуваної від Джерела залежності Z(t). Сигнал передається через Канал, де на нього накладається випадкова безперервна аддитивная перешкода e(t) - шум. На боці отримувача сигнал y (t) = x (t) + e (t);

- параметрами моделі є значення середньої потужності переданого Сигналу x(t) і перешкоди e(t) - відповідно Px та Pe. Також до параметрів моделі відноситься ширина смуги частот Fk, яку здатний передавати канал. Для важливого окремого випадку, коли енергія перешкод рівномірно розподілена по всій частотній смузі каналу підсумкова потужність перешкод визначається виходячи з їх питомої потужності pe. Такі перешкоди називаються "білим шумом". Вони найбільш непередбачувані і з ними найважче боротися, тому максимально можлива пропускна здатність визначається саме щодо таких перешкод;

- переданий сигнал характеризується величиною різницевої ентропії Нx, а прийнятий - ентропією Hy. Канал внаслідок впливу шуму створює умовну ентропію Нх/y = Hу/x. Пропускна здатність каналу як максимальна кількість інформації, що канал здатний передавати за одиницю часу, може бути визначена за загальною формулою С = Vх max{Hy - Hy/x}. Модель дозволяє перетворити цю формулу таким чином, щоб виразити величину С безпосередньо через параметри сигналів, перешкод і Каналу.

Формула пропускної здатності безперервного каналу
Одержання робочої формули для визначення пропускної здатності безперервного каналу пояснює рис.11.12:

Рисунок 11.12 Послідовиність одержання робочої формули пропускної здатності каналу

- оскільки інформативність безперервного сигналу відповідно до теореми Котельникова обмежена подвоєною максимальною частотою спектра, максимальну швидкість передачі можна визначити виходячи з граничної частоти, що пропускається каналом (1);

- з припущення про аддитивности перешкод витікає, що ентропія каналу визначається ентропією перешкод. Крім того, дисперсія вихідного сигналу (σy2) визначається як сума дисперсії вхідного сигналу і перешкоди (2);

- умова максимуму інформативності досягається, якщо розподіли сигналу і перешкоди будуть гауссовими. В обох випадках може використовуватися розглянута нами в лекції 3 формула різницевої ентропії гауссова розподілу Н = log2√ (2πeσy2) (3);

- розгорнемо тепер вихідну формулу для пропускної здатності з урахуванням описаних уточнень. Додатково врахуємо, що різниця логарифмів перетворюється в логарифм частки від ділення, а дисперсія вихідного сигналу виражається через дисперсію вхідного сигналу і перешкод. Крім того множник 2 перед логарифмом еквівалентний зведення в квадрат виразу під логарифмом, що усуває там корінь квадратний. Нарешті, врахуємо, що середня потужність відповідає величині дисперсії (4).

Тепер ми маємо в своєму розпорядженні робочу формулу для розрахунку пропускної здатності безперервного каналу C = Fk log2[1 + Px/Pe] (біт / с). Її розгорнута форма враховує зв'язок потужності перешкод з шириною частотної смуги - Fk log2[1 + Px/(Fk pe)]. У різних випадках виявляється більш зручним використання одного з цих двох варіантів.

Аналіз пропускної здатності безперервного каналу
В отриманій вище формулі зручно виділити два співмножники:
- перший це величина Fk (ширина смуги частот каналу) пропорційна максимально припустимій швидкості передачі (сигналів/c);
- сенс другого - питома інформативність сигналу (біт / сигнал).
На рис.11.13 показані приклади залежностей пропускної здатності каналу і питомої інформативності сигналів від ширини частотної смуги каналу. Тут наочно проявляються такі особливості:

Рисунок 11.13 До аналізу пропускної здатності безперервного каналу із шумом

- збільшення ширини смуги каналу дозволяє нарощувати його пропускну здатність завдяки збільшенню можливої швидкості передачі. Однак, таке зростання поступово сповільнюється у зв'язку з тим, що паралельно збільшується сумарна потужність перешкод (рис.11.13а);

- описаний ефект пояснює рис.11.13б, де показано зменшення інформативності окремих значень сигналів із зростанням ширини смуги каналу. Принцип полягає в тому, що значне перевищення корисного сигналу над перешкодою дозволяє впевнено розрізняти більше його значень (наприклад, при використанні 4 помітних значень сигналу можна передавати одночасно 2 біти інформації). Збільшення потужності перешкод призводить до того, що такі можливості вичерпуються;

- приклад наочно ілюструє принципову можливість передачі інформації за допомогою сигналів слабших, ніж перешкоди (це безпосередньо випливає з формули пропускної здатності, де доданок 1 під знаком логарифма робить величину інформативності позитивною навіть для малих відносин сигнал/перешкода). На практиці це означає, що для передачі одного біта інформації може бути використано кілька сигналів. Такий підхід дійсно використовується в сучасних системах зв'язку.

Надалі ми розглянемо практичні підходи до реалізації пропускної здатності безперервного каналу.

О дисциплине ТИК
Почему «Теория информации и кодирования» - одна из самых интересных дисциплин, которые изучают будущие системщики и защитники информации?

В ней сочетаются золотая классика и самая актуальная современность computer-science.

продолжение
О сайте
Здесь вы найдете материалы, которые помогут в изучении дисциплины “Теория информации и кодирования” (ТИК) в том виде, как она преподается на кафедре ЭВМ ДИИТа.

На сайте размещены методические материалы:
  • электронный конспект лекций;
  • методическое обеспечение к лабораторным работам;
  • полезные ссылки.

продолжение
© 2008-2019 • Теория информации и кодирования
UP