Лекция 1. Введение в ТИК. Оцифровка непрерывных сообщений
Курс “Теория информации и кодирования”

В этой лекции мы получим общее представление о курсе «Теория информации и кодирование» - его предмете, подходах, а также основных вопросах, которые здесь изучаются. Кроме того мы познакомимся с основными формами сообщений, - дискретной и непрерывной, - а также с принципами оцифровки непрерывных сообщений.

Введение в ТИК: предмет, подходы и задачи ТИК
Введение в ТИК: содержание курса и подходы к оцениванию
Оцифровка: предпосылки выбора параметров
Оцифровка: выбор частоты дискретизации по времени
Оцифровка: выбор шага квантования по амплитуде


1.1 Введение: предмет, подходы и задачи ТИК

Предмет ТИК
В названии дисциплины есть два ключевых слова: Информация и Кодирование. Оба эти понятия многогранны, их аспекты изучают различные дисциплины (рис.1.1):
  • под термином Информация в общем виде понимают различного рода сведения. На разных уровнях реальности это законы природы, отображения взаимодействий, представления субъектов об окружении или сообщения. Мы рассмотрим особенности этих форм, однако наиболее важным в курсе ТИК будет форма сообщений;
  • аспекты информации изучают в частности философия (роль и место информации в мироздании), кибернетика (информация как основа управления), информатика (манипуляции с информацией) и целый ряд других дисциплин;
  • под термином Кодирование в общем виде мы будем понимать представление сообщений с помощью знаков. Знаками могут быть буквы или цифры, слова, ноты, жесты, сигналы — любые объекты удобные для восприятия и несущие определенный смысл. В дальнейшем мы кратко познакомимся с принципами организации знаковых систем;
  • аспекты использования знаков изучают, в частности сигматика (свойства отдельных знаков), синтактика (правила построение сообщений из знаков), и семантика (смысл знаков в сообщениях);
  • ТИК, не претендует на роль обобщающей дисциплины, как это можно было бы представить по ее названию. Напротив, ее предмет локален и эта дисциплина — сугубо техническая.
    Предмет ТИК это эффективность передачи сообщений в технической среде.

Подходы ТИК
Эффективность передачи можно оценивать различными критериями а анализировать разными методами. В этом плане ТИК характеризуется следующими подходами (рис.1.2):
  • наша дисциплина сосредотачивается на наиболее универсальных показателях, характеризующих любую передачу сообщений. Это скорость, верность (безошибочность) и компактность представления сообщений. При этом вопросы безопасности передачи, хоть и входят в сферу классической ТИК, при изучении вынесены в отдельные курсы;
  • c другой стороны ряд важных, но специфических показателей не рассматриваются ТИК. Сюда относятся, в частности, надежность, экономичность, эргономичность и другие показатели, оценка которых существенно зависит от условий передачи сообщений;
  • в основу классической части ТИК, которая была разработана в основном в 40-х — 60-х годах прошлого века, положены строгие математические модели. Значительная часть из них базируется на вероятностном подходе. Применение этих моделей дает важные количественные ориентиры и сохраняет актуальность;
  • однако, в современных условиях важны и конкретные методы достижения эффективности передачи, которые на практике реализуются компьютерными алгоритмами. Например, математические модели позволяют оценить предельные возможности сжатия кода сообщений без потери информации. Но реальное сжатие обеспечивается программами архиваторами, в которых реализованы разные методы компьютерной обработки данных. В нашем курсе мы будем использовать оба эти подхода.

Задачи ТИК
Удобно рассмотреть задачи ТИК, отталкиваясь от обобщенной схемы передачи сообщений (рис.1.3).
  • Источник и Получатель сообщений. Здесь рассматривается передача как дискретных сообщений (например, текста и числовых данных), так и непрерывных (например, звука или изображений). При этом в современной практике даже исходно непрерывные сообщения передаются в дискретном («оцифрованном») виде.
  • Канал (среда) передачи. В общем случае это физическая среда передачи сообщений как в пространстве (например, эфир или кабель), так и во времени (например, магнитная поверхность диска) а также комплекс соответствующих технических средств. Канал всегда накладывает ограничения на показатели передачи. В частности, его свойства ограничивают скорость (за счет роста затухания сигналов более коротких сигналов) и верность (за счет влияния помех в канале). Кроме того канал может лимитировать объем передаваемых сообщений (за счет ограничения времени передачи или объема памяти).
  • Преобразователи формы сообщений. Это комплекс устройств и программ, которые применяются для согласования характеристик Источника и Канала. Они выполняют функции кодирования/декодирования, а также формирования/распознавания сигналов. Именно Преобразователи обеспечивают необходимый уровень показателей эффективности передачи.

Итак, задачи ТИК в самом общем виде состоят в построении и анализе методов преобразования сообщений для их эффективной передачи по каналам взаимодействия.

Контрольные вопросы:
1) Сформулируйте предмет ТИК.
2) Назовите основные критерии эффективности передачи сообщений в рамках ТИК. С чем связан выбор именно этих критериев
3) Как соотносится в курсе ТИК изучение классических математических моделей и анализ современных компьютерных алгоритмов обработки сообщений
4) Охарактеризуйте Преобразователи формы сообщений в обобщенной схеме передачи
5) Сформулируйте обобщенную задачу дисциплины ТИК


1.2 Введение: содержание курса и подходы к оцениванию

Содержание курса ТИК
Используем обобщенную схему передачи сообщений, чтобы выделить основные темы и разделы нашего курса (рис.1.4).

Курс включает две основных части:
  • в первой рассматривается подготовка сообщений к передаче,
  • во второй изучается передача информации через канал.

В основе подхода ТИК лежат методы определения количества информации. При их изучении:
  • в первой части мы познакомимся с определением информативность исходных сообщений;
  • во второй — изучим подходы к анализу передачи информации с учетом потерь в канале.

Изучение методов кодирования сообщений будет включать три блока:
  • исходное кодирование сообщений в современной цифровой среде (форматирование). Сюда примыкает знакомство с теорией дискретизации непрерывных сообщений;
  • сжатие кода сообщений без потерь (это универсальные методы, которые реализованы, в частности, в современных архиваторах), а также с потерями информации (специализированные и очень эффективные решения для компрессии звука и изображений);
  • защита от ошибок передачи (данные методы широко применяются при передаче сообщений в сетях, а также при хранении данных в оперативной памяти и на внешних носителях).

При изучении уровня передачи сигналов мы рассмотрим:
  • выбор формы сигналов с учетом особенностей канала передачи, а также распознавания сигналов, искаженных помехами;
  • использование сигналов-носителей (например, радиоволн) и способы их модуляции, а также способы разделения сигналов, несущих разные сообщения, в общей среде передачи.

Наконец, мы также познакомимся с важными подходами к информации и кодированию, которые не входят в рамки ТИК: разными уровнями проявления информации и особенностями знаковых систем.
Учитывая порядок выполнения лабораторных работ, мы начнем изучение курса со знакомства с исходным кодированием (форматированием) важнейших видов сообщений — текстовых сообщений, звука и изображений.

Оценивание результатов учебы
Особенности оценивания знаний в курсе ТИК иллюстрирует рис.1.5
  • итоговая оценка включает сумму оценок по восьми темам, а также, возможно, дополнительные баллы за выполнение индивидуального задания. Каждая из тем включает лабораторную работу (по четыре в первой и во второй части курса);
  • оценка за тему выставляется преподавателем с учетом уровня глубины ее изучения (выбирается студентом), а также качества выполнения и защиты работы (оценивается преподавателем);
  • на итоговую оценку могут повлиять бонусные баллы (за выполнение индивидуальных заданий и активность на занятиях), а также штрафные баллы (за пропуски занятий или несвоевременную сдачу).

    Выделяются три уровня глубины изучения тем, которые определяют объем изучаемого материала и лабораторных экспериментов:
    • полный вариант (до 12 баллов, что соответствует оценке “отлично”);
    • базовый вариант (до 10 - соответствует оценке “хорошо”);
    • минимальный вариант (до 8 - соответствует оценке “удовлетворительно”).

    Уровень изучения определяется студентом самостоятельно для конкретной темы.

    Контрольные вопросы:
    1) Охарактеризуйте основные направления изучения в курсе ТИК методов определения количества информации
    2) Каковы основные направления изучения методов кодирования
    3) Охарактеризуйте направления изучения методов передачи сигналов
    4) Расскажите о формировании итоговой оценки по ТИК


    1.3 Оцифровка: предпосылки выбора параметров

    Временная и спектральная форма непрерывных сообщений
    При выборе частоты дискретизации непрерывных сообщений обычно учитываются их спектральные характеристики. Рассмотрим этот аспект подробнее - рис.1.6: .
    • непрерывное сообщение представимо в двух принципиально различных, но взаимосвязанных формах — временной и частотной. На рисунке наглядно видно, что сложную непрерывную зависимость можно представить как наложение нескольких простых гармонических колебаний с разными частотами и амплитудами. Здесь мы как бы выбираем один из двух ракурсов, в котором рассматривается единый процесс. Одному из них соответствует привычная для нас временная диаграмма (на рисунке справа), а другому - спектральная диаграмма (слева);
    • поскольку временная и спектральная диаграммы отражают стороны одного процесса, они взаимно обусловлены и по каждой из них можно построить противоположную. Такие взаимные переходы называются спектральными преобразованиями;
    • применение спектральных преобразований позволяет выбирать именно ту форму, которая в данных обстоятельствах удобнее. Например, используя спектр звука, удобно воздействовать на определенные частоты.
      При этом восстановленная временная зависимость даст уже измененное звучание.

    С точки зрения оцифровки непрерывных сообщений важно учитывать максимальную частоту fmax, присутствующую в спектре, поскольку ей отвечают наиболее крутые участки временной диаграммы, требующие максимально частых отсчетов амплитуды. На практике в качестве fmax фиксируют частоту, для которой соответствующая амплитуда существенна. При этом разного рода высокочастотные “дребезги”, которые не несут информации, отсекаются.

    Примеры спектров показаны на рис.1.7:
    • на рис.1.7а отображен спектр музыкального аккорда. Здесь звучание отдельных нот выделяется пиками, каждому из которых отвечает своя частота (высота тона) и сила звучания (амплитуда);
    • на рис.1.7б показан спектр, который образуется наложением базовых цветов RGB. Тут частоты, которые отвечают серединам диапазонов базовых цветов составляют соответственно 440, 560 и 640 ТГц (Терагерц - 1012 Гц). Отметим, что в ряде случаев при изображении спектров в качестве независимой переменной принимают не частоту, а обратно пропроциональную ей длину волны. В примере на рис.1.7б при таком подходе «пики» красного и голубого цветов на рисунке поменялись бы местами.

    Использование показательной и логарифмической мер
    При анализе квантования амплитуд следует учесть некоторые универсальные закономерности (рис.1.8):
    • для природных процессов характерны чрезвычайно широкие диапазоны изменения величин. При этом для разных областей таких диапазонов характерно проявление различных закономерностей. Можно привести пример размеров физических объектов, а также подобные примеры, для температур, давления, частот электромагнитных колебаний и т.д. ;
    • в этих условиях широко используется показательная мера y=mх, в частности, при m=10 (рис.1.8а), а также m=2 и m=e (e ≈ 2,718 – константа Эйлера). Показательной функции y=mх соответствует обратная ей логарифмическая функция x = logmy (при этом распространенным значениям основания m отвечают особые записи функции логарифма — lg для m=10 и ln для m=e);
    • органы чувств человека также способны воспринимать широчайшие диапазоны внешних воздействий. В частности, минимальные и максимальные по мощности значения зрительных и звуковых сигналов различаются в миллиарды раз. При этом уровень восприятия оказывается пропорциональным логарифму интенсивности стимула (эмпирический закон Вебера-Фехнера в физиологии) — рис.1.8б;
    • итак, использование показательных и логарифмических зависимостей объективно обусловлено. При этом оно дает преимущество как в компактности записи, так и в простоте операций над величинами (например, как известно, при операциях с логарифмами умножение заменяется сложением).

    Дополнительно: Мера децибел
    Познакомимся с единицей измерения децибел, которая базируется на логарифмической зависимости и широко используется для оценки громкости звука, а также при анализе передачи сигналов (рис.1.9):
    • единицу децибел (дБ) применяют для оценки соотношения параметров физической величины с некоторыми базовыми значениями. Например, для звука — это соотношения его громкости с порогом слышимости. Для так называемых “энергетических” величин (например, для мощности, а по отношению к звуку для громкости) оценка в децибелах определяется по формуле D = 10lgPx/P0 , где P0 – базовое значение. Так, громкость звука 40дБ в 104 раз больше, чем порог слышимости (10 lg104 = 40). Как видно, рост мощности в 10 раз здесь соответствует увеличению D на 10 дБ (Отметим, что единица дБ безразмерна);
    • до сих пор, говоря о звуковых колебаниях, мы подразумевали изменение их амплитуды u (например, амплитуды напряжения на выходе микрофона). По отношению к звуку амплитуда пропорциональна величине звукового давления, а громкость — его квадрату. Аналогично, мощность электрического сигнала P пропроциональна кварату напряжения U. (В отличие от “энергетических” величин второго порядка соответствующие величины первого порядка принято называть “силовыми”). Учитывая такую квадратичную зависимость, преобразуем исходную формулу: D=10lgPx/P0 = 10lgUx2/U02 = 20 lgUx/U0. Теперь для случая D=40дБ получим 40 = 20lgUx/U0 = 20lg102. Таким образом 40дБ соответствует амплитуда звукового сигнала в 100 раз большая минимального значения;
    • использование единицы децибел дает ряд важных преимуществ. Так, логарифмический масштаб обеспечивает удобство работы с большими величинами (например, вместо того, чтобы оценивать звук, как в 1000000 раз более громкий по сравнению с порогом слышимости, мы просто укажем, что его громкость D=60дБ). Кроме того, усиление и ослабление сигнала теперь просто имеют разный знак (например, D=-10дБ означает, что мощность сигнала уменьшена в 10 раз).

    Контрольные вопросы:
    1) Поясните понятие спектра и взаимосвязь временного и частотного представлений.
    2) Поясните примеры спектров, показанные на рис.1.7.
    3) Какой параметр спектра наиболее важен для дискретизации непрерывного сообщения
    4) Запишите общие формулы показательной и логарифмической зависимостей. Какие величины оснований и формы записи логарифмов используются наиболее часто.
    5) Опираясь на рис.1.8, сформулируйте закон восприятия сигналов органами чувств. Почему в этом разделе уместно было его привести
    6) Что представляет собой единица измерения децибел и для чего она используется.
    7) Запишите формулы для соотношения энергетических и силовых величин в децибелах. Приведите примеры расчета.


    1.4 Оцифровка: выбор частоты дискретизации по времени

    Подходы к выбору частоты дискретизации
    Как мы уже знаем, выбор частоты дискретизации для непрерывных сообщений должен исходить из максимальной частоты изменения физической величины (сигнала), которая в них присутствует. При этом необходимо учитывать следующие моменты (рис.1.10):
    • частотный состав для разных сообщений может существенно различаться. Поэтому при выборе частоты дискретизации ориентируются не на индивидуальные свойства сообщений, а на характеристики их источника, которые остаются неизменными. Такой подход на практике используется для обработки сигналов от специализированных технических устройств (например, датчиков, чьи сигналы имеют стабильные характеристики);
    • в случае оцифровки звука привязка к его источнику породила бы множество вариантов частоты дискретизации, что неприемлемо для стандартного решения. Здесь необходимо привести все источники сообщений «к общему знаменателю» с позиций частотных характеристик. И точкой отсчета могут быть свойства человеческого восприятия — по сути, требования прриемника сигналов;
    • для всех звуковых сообщений общим ограничителем являются возможности человеческого слуха, который не воспринимает частоты выше 20 кГц (это довольно приблизительная оценка, но именно на нее принято опираться). Для случая речи ориентируются на частоту, которая позволит понимать содержание разговора (так называемая частота слоговой разборчивости). По результатам широких экспериментов связистов такая частота принята на уровне примерно 3 кГц (в Европе 3,4 кГц, а в США 2,9 кГц). Очевидно, что снижение частоты дискретизации для речи дает существенную экономию в объеме ее цифрового кода, что важно с учетом размеров именно речевого трафика.

    Правило выбора частоты дискретизации и его применение для звука
    Теперь необходимо выяснить зависимость частоты дискретизации fd от частоты fmax.
    Широко используется простое правило для решения этой задачи (рис.1.11): Частоту дискретизации следует выбирать вдвое большей по сравнению с максимальной частотой, присутствующей в исходной непрерывной зависимости: fd = 2 fmax.
    Данное правило связано с именами специалистов, которые его обосновали - американца Гарри Найквиста и Владимира Котельникова из СССР;
    На практике частота дискретизации берется с некоторым запасом (обычно с коэффициентом 1,1-1,2). Ниже мы выясним, что такой запас необходим и с точки зрения строгого теоретического обоснования;
    На основе этого правила и с учетом запаса приняты стандарты частоты дискретизации для звука:
    • в случае звука от произвольных источников (ограничения слуха) fd = 2х1,1х20 = 44 кГц;
    • в случае речи (ограничения разборчивости) fd = 2х1,18х3,4 = 8 кГц.

    Дополнительно: Теорема Котельникова
    Правило выбора частоты дискретизации (Найквиста-Котельникова) теоретически обосновывается теоремой Котельникова о возможности точного восстановления исходного сигнала по его дискретным отсчетам - рис.1.12:

    Любая непрерывная зависимость (аналоговый сигнал) может быть восстановлена с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой fd > 2 f max.

    При этом теорема дает математическую процедуру восстановления (формула Котельникова – рис.1.12):
    • анализ формулы Котельникова показывает, что исходная зависимость u(t) здесь восстанавливается суммированием дискретных отсчетов, взятых с шагом дискретизации Δt, каждый из которых умножается на специальную колебательную функцию. В результате может быть получена сглаженная кривая, совпадающая с исходной;
    • однако, формула показывает и ограничения такого подхода: суммирование должно вестись на бесконечном множестве отсчетов, при этом “хвосты” колебательных функций также распространяется в бесконечность. На практике к этому добавляется сложность технической реализации «идеальных» функций Котельникова;
    • между тем, в технической реализации перечисленные выше ограничения могут быть компенсированы просто некоторым увеличением частоты дискретизации (на те самые 10-20%, о которых шла речь выше). Так и поступают на практике;
    • добавим, что совершенно точное восстановление исходной зависимости все равно оказывается практически невозможным, поскольку дискретные отсчеты еще и квантуются по уровню. Но необходимая точность всегда может быть достигнута (в частности, за счет выбора шага Δu, о котором пойдет речь ниже).

    Контрольные вопросы
    1) Как выбирается максимальная частота при оцифровке сигналов от датчиков. Чем это обусловлено.
    2) Почему при выборе частоты дискретизации звука принято ориентироваться не на частотные характеристики его источников, а на параметры слуха.
    3) Какая максимальная частота звука учитывается при оцифровке его произвольных источников и при оцифровке речи. Чем обусловлен выбор этих параметров.
    4) Сформулируйте правило Найквиста-Котельникова выбора частоты дискретизации.
    5) Как связаны стандартные частоты оцифровки звука от произвольных источников и оцифровки речи с применением правила Найквиста-Котельникова.
    6) Сформулируйте теорему Котельникова о выборе частоты дискретизации. Поясните процедуру восстановления непрерывной зависимости по рис.1.12.
    7) В чем проявляются ограничения использования теоретического подхода к восстановлению непрерывных сигналов. Как эти ограничения учитываются на практике.


    1.5 Оцифровка: выбор параметров квантования амплитуд

    Общие подходы к выбору параметров квантования
    К основным параметрам квантования амплитуд относятся шаг квантования Δu и количество уровней квантования N. Последнее связано с разрядностью кода n (рис.1.13). При этом:
    • первоначальными данными для определения этих параметров служат допустимая погрешность квантования δuдоп и диапазон изменения квантуемой величины Umax — Umin. Исходя из них можно определить минимально необходимое количество уровней Nmin = (Umax — Umin)/δuдоп. Например, если диапазон квантуемой величины составляет от +5В до -5В, а допустимая погрешность 0,1 В, то минимальное число уровней будет 10/0,1=100;
    • квантуемая величина представляется двоичным кодом, так что количество уровней N должно быть кратно степени двойки (разумеется, превышая при этом значение Nmin). В нашем примере это будет 27=128, что соответствует минимально допустимой разрядности кода nmin=7. Тот же результат можно получить несколько иначе: исходя из значения Nmin требуемое число двоичных разрядов nmin = round(log2Nmin) - с округлением до целого в большую сторону;
    • на практике разрядность кода уточняется с учетом требований технической реализации. В частности, квантование (алфавитно-цифровое преобразование) выполняется микросхемами АЦП, разрядность которых может быть 8, 10, 12 или 16. Кроме того, могут присутствовать дополнительные условия — например, кратность длины кода байту, как в случае форматирования звука. В нашем примере скорее всего необходимо будет выбрать n=8 и количество уровней составит N=256. При этом реальный шаг квантования определится как Δu=(Umax — Umin)/2n ≈ 0,04 В;
    • зафиксируем также важную закономерность и правило: увеличение длины кода на один разряд соответствует росту количества уровней квантования или уменьшению шага квантования вдвое.

    Квантование амплитуд и использование децибел
    При оценке квантования часто используют уже знакомую нам меру децибел (рис.1.14):
    • “цена” одного двоичного разряда кода в децибелах может быть определена исходя из соответствующих формул. Поскольку, добавляя двоичный разряд, мы увеличиваем диапазон вдвое, получим для мощности Dp(2)=10lg2≈3 дБ/разряд (более точно — 3,01), а для амплитуды Du(2)=20lg2≈6 дБ/разряд. Эти значения широко используются;
    • учитывая длину кода амплитуды, получим ширину динамического диапазона в дБ при кодировании амплитуду звука 8 битами (как например для речи) - 48 дБ. При кодировании 16-ю разрядами такой диапазон составит 96 дБ;
    • cопоставим это с оценкой количества уровней двоичного кода. Для 8-разрядного кодирования, исходя из соотношения D=20lgUx/U0 =48, получим lgUx/U0 = 2,4 и количество уровней N=102,4=251 (при более точном расчете с учетом коэффициента 3,01 - близко к 256). Для 16-разрядного кода соответственно получим N≈65536. Это подтверждает правильность установленной пропорции количества двоичных разрфдов и ширины диапазона в дБ;
    • обратим внимание, что в некоторых случаях (например, в параметрах радиоэлектронной аппаратуры) величина динамического диапазона в дБ указывается отрицательной. Это связано с выбором «точки отсчета». Знак минус появляется, если максимальной мощности источника звука ставится в соответствие уровень 0 дБ, как это и принято, в частности, для звуковоспроизводящей аппаратуры.

    Дополнительно: Характеристики погрешностей квантования
    Погрешность квантования представляет собой непрерывную случайную величину, которую принято называть также «шумом квантования» (рис.1.15). При этом:
    • погрешности δu = U(t) - U*(t) обычно имеют с равномерное распределение в диапазное шага квантования Δu. На практике это означает, что если весь такой диапазон разделить на одинаковые интервалы, то значения δu будут попадать в такие интервалы примерно одинаково часто (рис.1.15);
    • существуют два способа выбора уровня квантования. Простейший из них предусматривает «округление» в большую (или меньшую) сторону. В этом случае значение Δu – максимальная погрешность квантования, а ее математическое ожидание m(δu)=|Δu/2| (рис.1.15). Аальтернативный способ — выбор ближайшего уровня квантования. В этом случае максимальная погрешность составляет Δu/2 при m(δu)=0;
    • наряду с математическим ожиданием m(δu) важной характеристикой погрешностей является их дисперсия D(δu) или среднеквадратическое отклонение S(δu), которые характеризуют их разброс. Значения этих параметров полностью определяются величиной шага дискретизации: D(δu) = Δu2/12, S(δu)=√D(δu) = Δu/(2√3) – рис.1.15.



    Контрольные вопросы
    1) Назовите основные параметры квантования амплитуд дискретных отчетов сигналов. Какие из них непосредственно связаны между собой.
    2) Опираясь на рис.1.13, опишите последовательность выбора параметров квантования с учетом основных характеристик технического решения (диапазона изменения сигнала, допустимой погрешности, разрядности используемых АЦП). Приведите числовой пример.
    3) Какова связь между разрядностью двоичного кода квантованного сигнала и погрешностью квантования
    4) Как определяется “цена” двоичного разряда кода в децибелах для мощности и амплитуды сигнала.
    5) Какова ширина динамического диапазона в децибелах при кодировании речи и произвольных источников звука. Чем она определяется.
    6) С чем связано использование отрицательной величины динамического диапазона в децибелах.
    7) Опираясь на рис.1.15, охарактеризуйте погрешность («шум») квантования как случайную величину.
О дисциплине ТИК
Почему «Теория информации и кодирования» - одна из самых интересных дисциплин, которые изучают будущие системщики и защитники информации?

В ней сочетаются золотая классика и самая актуальная современность computer-science.

продолжение
О сайте
Здесь вы найдете материалы, которые помогут в изучении дисциплины “Теория информации и кодирования” (ТИК) в том виде, как она преподается на кафедре ЭВМ ДИИТа.

На сайте размещены методические материалы:
  • электронный конспект лекций;
  • методическое обеспечение к лабораторным работам;
  • полезные ссылки.

продолжение
© 2008-2013 • Теория информации и кодирования
UP