Лекция 6. Методы сжатия изображений
Курс “Теория информации и кодирования”

В данной лекции мы узнаем о популярных методах сжатия статических изображений. Речь пойдет прежде всего о сжатии с потерями качества, которое позволяет сократить объем изображений в десятки раз. В частности, мы познакомимся с алгоритмами сжатия в рамках стандартов JPEG и JPEG-2000, которые широко применяются в современной практике.

Направления сжатие изображений без потерь и с потерями
Стандарт сжатия изображений JPEG
Стандарт сжатия JPEG-2000
Фрактальное сжатие изображений

6.1 Направления сжатие изображений без потерь и с потерями


Сжатие с помощью универсальных методов
Универсальные методы сжатия без потерь информации находят применение для компрессии изображений (рис.6.1). При этом:
  • для векторных изображений их описание представляют разновидность текста. Соответственно, применение универсальных методов здесь совершенно уместно. Однако объем самих описаний обычно относительно не велик, так что эффект от сжатия не будет значительным;
  • для растровых изображений в силу их значительно большего исходного объема проблема сжатия гораздо более актуальна. Здесь также используются универсальные методы, которые часто встроены непосредственно в программы генерации форматов изображений. В частности, в популярных форматах pcx, bmp и tiff применяется метод RLE, а в формат gif и png – разновидности словарных алгоритмов LZ*;
  • эффективность использования универсальных методов сжатия существенно зависит от характера изображений. В частности, для деловой графики, где характерны поверхности, залитые одним цветом, такая эффективность значительно выше, чем для фотографий природы с большим количеством деталей.

В целом применение стандартных универсальных методов сжатия не является лучшим решением для изображений. На практике значительно более эффективными оказываются специализированные методы. В частности, разработаны методы эффективные методы сжатия без потерь качества, однако наибольшую популярность завоевало сжатие с потерями качества изображений, которые мы детально рассмотрим ниже.

Подходы к сжатию изображений с потерями качества
Методы сжатия с потерями качества изображений используют особенности человеческого зрения (рис.6.2):

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
  • зрение не критично к мелким деталям изображений. В связи с этим «сглаживание» мелких деталей не вызывает ощущения значительного ухудшения качества. На практике такое сглаживание выполняют либо в пределах небольших участков изображения (в результате проявляется его «мозаичность»), либо по всему изображению в целом (это проявляется как потеря его четкости). Такой подход реализован соответственно в стандартах JPEG и JPEG2000. Еще один подход — выделение похожих элементов изображения, для которых может быть построено общее математическое описание (подобно векторному представлению). Такой подход называется фрактальным;
  • зрение более критично к искажениям яркости, нежели цвета. Исходя из этого выполняют разделение цветовых и яркостной составляющей. Этот эффект применяют, в частности, в телевидении, где для передачи яркостной составляющей используют более широкую полосу частот. Стандарт сжатия JPEG предусматривает более значительное огрубление цветовых составляющих изображения по сравнению с яркостной;
  • зрение не воспринимает слишком быстрое изменение изображения. Поэтому при восприятии видеоряда можно выделять “опорные” кадры, обеспечивающие четкость картинки и «промежуточные», которые необходимы для создания эффекта непрерывности. Такой подход применяют при сжатии видео, где «опорные» кадры кодируются с достаточно высоким качеством, а промежуточные кадры сжимаются гораздо сильнее. Это предусмотрено, в частности, в стандарте MPEG.
    Ниже мы детально рассмотрим основные методы сжатия с потерями плоских изображений. Особенности сжатия видео будут рассмотрены в следующей лекции.

Контрольные вопросы
1. Расскажите о применении универсальных методов сжатия для растровых и векторных изображений.
2. Почему применение универсальных методов не решает проблемы сжатия растровых изображений.
3. Какие особенности человеческого зрения используются для сжатия изображений с потерями качества.
4. Какие подходы к огрублению мелких деталей изображений используются в современных методах сжатия с потерями.


6.2 Стандарт сжатия изображений JPEG

Идея метода
Стандарт сжатия изображений JPEG разрабатывался еще в 80-х годах с учетом ограничений тогдашних компьютеров, однако успешно применяется и сегодня.
Основная идея метода — разбиение изображения на небольшие блоки с последующим сжатием их кода, которое визуально отображается сглаживанием мелких деталей (рис.6.3):
  • cглаживание достигается за счет использования спектрального преобразования и подавления высокочастотных составляющих. На этом этапе возникают потери качества изображения, которые, тем не менее субъективно воспринимаются как приемлемые (пример — на рис.6.3);
  • метод JPEG сочетает применение спектрального преобразования с использованием сжатия без потерь (кодирования Хаффмена и RLE), а также инженерных решений по подготовке к сжатию (например, разделения яркостной и цветовых составляющих с дополнительным огрублением последних);
  • обычно JPEG позволяет сжимать изображения в 10-15 раз без существенной потери качества. При более сильном сжатии проявляется мозаичность изображения, а также так называемый «эффект Гибсона» - более резкое выделение границ резких цветовых переходов. Время сжатия и восстановления изображения близки между собой.

Алгоритм JPEG включает три последовательных этапа, содержание которых существенно различается. Ниже эти этапы будут рассмотрены детально.

Предварительная обработка изображения
На этом этапе выполняются три шага преобразования растрового изображения (рис.6.4):
  • Шаг А - для разделения яркостной и цветовой составляющих выполняется переход к так называемому цветоразностному представлению (ICT — Irreversible Color Transform). Тройка параметров RGB преобразуется в тройку коэффициентов YUV (YСrCb). Здесь Y – яркостная составляющая, а U и V – цветовые (так называемые “хроматический красный” - Cr и “хроматический синий” Cb). Прямое преобразование выполняется умножением вектора RGB на матрицу коэффициентов. С помощью той же матрицы может быть выполнено и обратное преобразование;
  • Шаг Б - изображение разделяется на блоки 8х8 пикселей, внутри которых в дальнейшем выполняется сглаживания деталей (рис.6.2). Именно эти прямоугольные блоки при сильном сжатии изображения выделяются как элементы «мозаики». Каждый блок изображения представляется тремя матрицами коэффициентов Pij размером 8х8. Матрицы соответствуют составляющим YUV. (Например, в матрице U значение Pij=0 означает, что у данной точки отсутствует красная цветовая составляющая, а Pij=255 значит, что эта составляющая будет максимально яркой);
  • Шаг В - выполняется так называемое «прореживание» строк и столбцов цветовых составляющих блоков изображения. В результате их размер сокращается в четыре раза, при этом огрубление цветов незначительно сказывается на восприятии изображения. Четверки блоков изображения 8х8 объединяются в «макроблоки» 16х16, а затем для цветовых составляющих U и V из соответствующих матриц исключаются все четные строки и столбцы. При этом матрица яркостной составляющей Y остается нетронутой В итоге количество коэффициентов сокращается вдвое (12 блоков остается 6).


Спектральное преобразование данных
Для выделенных блоков изображения выполняется спектральное преобразование данных, чтобы выделить информацию именно о мелких деталях, которые затем могут быть огрублены (пример на рис.6.5):
  • математически каждый блок изображения 8х8 пикселей представляется матрицей P из 64 коэффициентов pxy. Каждый из коэффициентов pxy может иметь значение от 0 до 255, поскольку кодируется одним байтом;
  • для перехода к спектральной форме изображения используется так называемое дискретное косинус-преобразование (ДКП) в его двумерном варианте. При этом от «пространственной» матрицы P, где каждый элемент характеризует пиксель с соотвествующим расположением, мы переходим к аналогичной «спектральной» матрице D, элементы которой соответствуют частотным составляющим;
  • расчет элементов матрицы D ведется по формуле, показанной на рисунке. В итоге коэффициенты dij отражают «амплитуду колебаний» яркости пикселей для различных частот. Так, одинаковой яркости всех пикселей отвечает нулевая частота (однородный фон - колебания отсутствуют). Соответствующий элемент расположен в верхнем левом углу матрицы D и в данном случае он будет единственным ненулевым. Если внутри блока появляется градиент яркости, то ненулевыми становятся и другие коэффициенты. Самая высокая частота отвечает изменениям яркости соседних пикселей. Ей отвечает коэффициент в правом нижнем углу матрицы;
  • полученные элементы dij («двумерный спектр») можно преобразовать в удобную для обработки одномерную форму, если развернуть его в строку. Такое преобразование выполняется путем обхода матрицы D «зигзагом» от левого верхнего к нижнему правому углу матрицы (как это видно на рис.6.5). Теперь последовательность коэффициентов соответствует линейному росту частоты и похожа на привычный одномерный спектр (это отображено на рис.6.7, который мы рассмотрим в дальнейшем).

Обратим внимание, что процедура ДКП, как и дальнейшая обработка ее результатов, выполняется независимо для каждой составляющей цветовой модели YUV.

Квантование спектра и сжатие данных
На этом этапе выделяются два шага:
  • подготовка к сжатию за счет огрубления (квантования) спектров блоков. Здесь возникают потери информации о деталях изображения;
  • собственно сжатие кода. Оно выполняется с использованием стандартных методов и к потерям не приводит.

Ниже мы детально рассмотрим именно первый этап, поскольку второй реализуется уже знакомыми нам методами. Процедуру квантования спектра блока иллюстрирует рис.6.6:

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
  • первоначально все коэффициенты матрицы D делятся с отбрасыванием дробной части на некоторые установленные делители. В примере такой делитель принят равным 8. В реальном алгоритме JPEG делители увеличиваются с возрастанием частот (на рисунке приведен фрагмент реальной матрицы делителей, в котором отображены первые 16 значений из 63);
  • восстановление исходного вида матрицы выполняется обратным умножением на те же коэффициенты. Однако, поскольку при делении дробные части результатов отбрасывались, происходит необратимая потеря информации;
  • в результате процедуры огрубления набор коэффициентов может содержать много нулей. Кроме того маленькие цифры встречаются чаще, а набор используемых значений многократно уменьшается. Хотя каждый коэффициент по-прежнему кодируется одним байтом (то-есть, никакого сжатия еще не произошло), значительно улучшились условия для сжатия на следующем шаге преобразования;
  • нетрудно видеть, что увеличивая значения делителей, мы дополнительно улучшим предпосылки сжатия (возрастет количество нулей и сократится объем алфавита). При этом за рост степени сжатия придется заплатить ухудшением качества изображения.

Результаты обработки блока изображения
Рассмотрим теперь более детально особенности обработки уже знакомого нам блока изображения (рис.6.3) в связи с особенностями алгоритма JPEG – рис.6.7:
  • процедура обработки блока выполняется параллельно для всех трех составляющих цветовой модели. Для наглядности на рисунке выделена наиболее важная яркостная составляющая Y;
  • значения коэффициентов исходной матрицы P, матрицы спектра D и матрицы огрубленных коэффициентов D* представлены в виде полос, которые располагаются в направлении роста частоты (порядок обхода пикселей «зигзагом» от верхнего левого к нижнему правому углу матрицы описан выше).
  • как видно, в результате ДКП амплитуды частотных составляющих в целом убывают для более высоких частот. Кроме того, при огрублении для более “удаленных” коэффициентов используются большие значения делителей (рис.6.6). В результате при огрублении из спектра «вычищаются» именно высокочастотные составляющие, которым отвечают более мелкие детали изображения. Подобные изменения происходят и для спектров двух других составляющих U и V, которые не видны на рисунке. В итоге смещается их баланс, а вместе с ним итоговые цвета пикселей;
  • визуально эти изменения выражается в “смазывании” четких цветовых различий соседних пикселей. Например, исходно черные пикслели получили “промежуточные” бардовые и коричневые цвета, а соседние с ними ярко-красные и желтые стали более темными. Кроме того, в результате усреднения цвета внутри блоков на поле изображения выделяются их границы. Это приводит к визуальному эффекту мозаичности.

В результате подобного кодирования из примерно полутора тысяч бит, описывающиx блок, остается обычно несколько десятков: код изображения сжимается в 10-15 и более раз.

Контрольные вопросы
1. Дайте краткую характеристику сжатия изображений согласно стандарту JPEG.
2. Назовите основные этапы сжатия по стандарту JPEG и охарактеризуйте их содержание.
3. Расскажите о шагах предварительной подготовки изображения к сжатию в JPEG.
4. Используя рис.6.5, расскажите о применении спектрального преобразования в JPEG.
5. Опираясь на рис.6.6, поясните процедуру огрубления спектра блока изображения в JPEG.
6. По рис.6.7 расскажите о визуальных эффектах, возникающих при сжатии блоков изображений по стандарту JPEG.


6.3 Стандарт сжатия JPEG-2000

Идея метода
Стандарт JPEG-2000 разрабатывался с целью преодоления недостатков JPEG. В частности, он должен был обеспечить существенное повышение степени сжатия без мозаичности изображений, а также возможность сжатия без потерь.
Идея метода - сжатие за счет усреднения характеристик соседних пикселей с постепенным уменьшением кода всего изображения (рис.6.8). При этом:
  • на каждом шаге за счет усреднение яркостей соседних пикселей основное изображение уменьшается в 4 раза. Одновременно сохраняются отличия исходных пикселей от усредненного, что позволяет в дальнейшем восcтановить изображение (на рис.6.8 эти отличия отображены подобно теням на барельефе);
  • сохраняемые отличия исходных пикселей от усредненного сами по себе относительно малы, что позволяет кодировать их более экономично. Кроме того “диагональная” часть изображения вообще не несет информации (это наглядно видно на рис.6.8), так что ее можно не сохранять. Получаемая таким образом экономия позволяет в принципе сжимать изображение без потерь;
  • описанная процедура выполняется несколько раз итеративно (на каждом шаге результаты предыдущего используются в качестве исходных данных). При этом мы как бы движемся от более высокочастотных составляющих спектра (различия в соседних пикселях) к низкочастотным (плавные изменения фона). Такое преобразование называют “вейвлетным” (wavelet - «волночка») или полностью — дискретным вейвлетным преобразованием ДВП;
  • вейвлетное преобразование автоматически разделяет обработку плавных («низкочастотных») изменений изображения, которые важны для восприятия, от мелких “высокочастотных” деталей, которыми можно пожертвовать Первые проявляются при усреднении яркостей соседних пикселей, а вторые — за счет вычисления их разности. Это еще часто называют низкочастотным и высокочастотным фильтрами. Важно, что такая фильтрация ведется для всего изображения, что позволяет сделать все его изменения плавными;
  • на каждом шаге преобразования отличия пикселей от среднего (высокочастотные составляющие) могут огрубляться за счет квантования, что позволяет существенно сжимать их код, но приводит к потере качества. Визуально такое сжатие проявляется как размывание изображения. При больших степенях сжатия оно воспринимается глазом более лояльно по сравнению с мозаичностью JPEG, что позволяет существенно увеличить степень сжатия (вплоть до 1:50).

Общая структура алгоритма JPEG-2000
В целом в алгоритме выделяются те же основные этапы, что и в JPEG – предварительная обработка, спектральное (здесь вейвлетное) преобразование и кодирование (квантование с последующим сжатием) — рис.6.9. При этом:
  • на этапе предварительной обработки, как и в JPEG, выполняется переход к цветоразностной модели YUV и прореживание цветовых составляющих. Важное отличие состоит в том, что здесь не происходит разбиение на маленькие блоки 8х8. Изображение может обрабатываться либо полностью, либо (с учетом ограничений по используемой памяти) разбивается на крупные квадратные зоны тайлы (tile - «плитка»), для каждого из которых обработка ведется независимо;
  • дальнейшая обработка выполняется по шагам-итерациям (обычно от 4 до 8), число которых алгоритм определяет с учетом требуемой степени сжатия. При этом последовательное «углубление» обработки реализуется только для его низкочастотной части (основного изображения), а код мелких деталей, которые выделяются высокочастотной фильтрацией, постепенно накапливается в сжатом виде. Ниже мы более подробно рассмотрим внутреннее устройство шага такой итерации.

Особенности обработки для одного шага преобразования
Этапы обработки внутри каждой итерации показаны на рис.6.10:
  • очередной шаг вейвлетного преобразования включает вычисление среднего значения для четверки cоседних пикселей, а также вычисление полуразностей по строке, столбцу и диагонали. Эта операция выполняется для всех четверок пикселей внутри основной части изображения (LL);
  • квантование (огрубление) полученных значений выполняется только для полуразностей по строкам и столбцам (HL и LH), при этом диагональные элементы НН не хранятся. Разумеется в режиме сжатия без потерь огрубление не используется;
  • при кодировании обычно первоначально выделяются блоки размером 32х32 пикселя. Это удобно для стандартизации их обработки, но также способствует помехоустойчивости алгоритма, поскольку возможные искажения при передаче или хранении влияют только на небольшую часть изображения. Для “подготовительного” кодирования используется достаточно изощренный алгоритм, обеспечивающий увеличение количества нулей (здесь мы не станем рассматривать его детально). На конечном этапе применяется арифметическое кодирование.

В целом JPEG-2000 способен обеспечить почти двукратное увеличение сжатия с потерями по сравнению с JPEG. В части сжатия без потерь он не столь эффективен и проигрывает специализированным решениям (в частности JPEG-LS), однако сама такая возможность выгодно отличает его от предыдущего стандарта.

Важным достоинством JPEG-2000 является возможность выбирать режимы сжатия для разных зон изображения, а также помехоустойчивость. Кроме того гораздо лучше сжимает изображения, созданные в компьютерных редакторах, и изображения документов. Снижение качества изображения проявляется в его сглаживании («замыливании»), а при сильном сжатии — также в появлении ряби в окрестностях резких границ. Главным недостатком является низкая скорость сжатия.

Контрольные вопросы
1. Расскажите об идее метода сжатия в JPEG-2000, опираясь на рис.6.8.
2. Расскажите о структуре алгоритма JPEG-2000, используя рис.6.9.
3. Охарактеризуйте особенности этапа подготовки изображения в JPEG-2000.
4. Как реализуется в алгоритме вейвлетное преобразование. Какие преимущества дает его применение.
5. Каковы особенности этапов огрубления и кодирования в JPEG-2000.
6. В чем состоят основные преимущества и недостатки JPEG-2000 относительно JPEG.


6.4 Фрактальное сжатие изображений

Идея и область применения метода
Многие изображения содержат похожие друг на друга элементы, которые отличаюся лишь расположением, масштабом, углами поворота, растяжением и т.п. Ярким примером здесь может служить ветка папоротника, где листья похожи не только друг на друга, но и на всю ветку в целом. О таких элементах говорят, что они обладают свойством “самоподобия”. Принципиально важно, что для них может быть получено компактное математическое описание на основе вариации параметров одного единственного объекта-прототипа, который называют фракталом (рис.6.11).
Идея данного метода сжатия состоит в том, чтобы заменить исходное изображение, на построенное с использованием фракталов. Поскольку их математическое описание компактно (подобно описанию элементов векторной графики), степень сжатия может быть очень высокой (в сотни раз). При этом:
  • математический аппарат для формирования сложных изображений из фракталов достаточно прост. Классическим примером здесь часто служит та же ветка папоротника, построенная таким методом (этот пример связан с именем первооткрывателя метода и его часто называют «папоротником Барнсли»);
  • в силу простоты математических преобразований скорость построения изображения по его фрактальному описанию высока (c позиций сжатия данных такая операция соотвествует декодированию. Вместе с тем, обратную задачу, которая включает нахождение похожих (“самоподобных”) элементов и определение соответствующих параметров фракталов для в исходного изображения, решить гораздо сложнее. На практике такое решение, которое отвечает кодированию изображения, требует немалого времени;
  • исходя из упомянутых особенностей фрактального сжатия становится понятной область его применения. Во-первых, такой метод может использоваться для сжатия с потерями (точное воспроизведение изображение таким способом в общем случае очевидно невозможно). Во-вторых, он может быть эффективным, когда время воспроизведения критично, а время сжатия, напротив, слабо ограничено (Примером здесь могут быть изображения, которые часто запрашиваются пользователями с серверов). Наконец, в-третьих, фрактальное сжатие хорошо приспособлено именно для изображений природных объектов (например, фотографий высокого разрешения).

Основы математики фракталов: аффинные преобразования
В основе математического аппарата фрактального сжатия лежит использование математических “аффинных” преобразований (рис.6.12):
  • аффинные преобразования (АП) включают перемещения объекта на плоскости и его повороты (движения), а также его растяжения и сжатия относительно точки (масштабирование) и относительно прямых (равномерное растяжение-сжатие на плоскости);
  • важным свойством аффинных преобразований является сохранение некоторых свойств фигур. В частности, при АП прямые переходят в прямые, сохраняется наличие кривизны и параллельность линий, отношения длин отрезков на прямой и соотношения площадей;
  • для фрактальных преобразований широко используются так называемые сжимающие АП, которые сближают точки изображения. В частности, их применяют в итеративном режиме (когда результаты предыдущего шага преобразования используются в качестве исходных данных последующего). Простым примером сжимающего преобразования может быть процедура yк+1=0,5yк. К использованию сжимающих АП мы вернемся в дальнейшем.


Основы математики фракталов: системы итерированных функций (СИФ)
Для построения изображений на основе аффинных преобразований используются так называемые «системы итерированных функций» (СИФ) — рис.6.13:
  • в частности, на рис.6.13а показано последовательное построение так называемого «треугольника Серпинского». Здесь середины сторон равностороннего треугольника соединяются между собой, а из четырех образовавшихся меньших треугольников «внутренний» удаляется. Эта процедура повторяется итеративно для каждого образующегося треугольника. По мере продолжения итераций, фигура изменяется все меньше, то есть стремится к некоторому устойчивому изображению;
  • на рис.6.13б отображена СИФ, которая приводит к таким результатам. Каждая из трех функций f1, f2 и f3 уменьшают масштаб исходного треугольника и сдаигают результат в соответсвующую позицию - левый угол для f1, правый для f2 и верхний для f3 (цвета здесь использованы для наглядности). Как видно, преобразование выполняется с помощью простых функций, а его настройки определяются всего 18-ю числовыми коэффициентами;
  • наконец, на рис.6.13в показано использование той же СИФ в случае, когда исходной фигурой будет не треугольник, а квадрат. Интересно и важно, что в результате последовательности итераций независимо от исходного «материала» получается та же самая фигура (по мере уменьшения размера элементов визуальные различия постепенно нивелируются). Это означает, что получаемое изображение полностью определяется параметрами СИФ.

Приведенный пример раскрывает механизм построения изображений с помощью заданных СИФ. При этом сложные изображения могут включать множество фракталов, для каждого из которых должны быть заданы собственные параметры СИФ. Собственно, набор этих параметров и составляет код сжатой картинки. Но, как мы помним, главная сложность состоит именно в определении этих параметров для исходного сжимаемого изображения.

Понятие об алгоритме фрактального сжатия
Итак, фрактальное сжатие должно обеспечить выявление в изображении самоподобных участков изображения (фракталов) и определение параметров соответствующих СИФ, которые бы размещали фракталы в нужных позициях и ракурсах. Принципы построения популярной версии такого алгоритма иллюстрирует рис.6.14:
  • первоначально все изображение делится на множество непересекающихся квадратных элементов — квантов (термин range также буквально переводят как “ранговая область”). Из них в дальнейшем формируется минимальный набор необходимых фракталов. Полученную сетку называют еще панелью выбора;
  • формируется пул (набор) всевозможных пересекающихся блоков изображения (доменов — domain), состоящих из четверок соседних квантов;
  • для каждого кванта по очереди “примеряются” различные доменные блоки и при их совпадении с достаточной точностью определяются параметры преобразования, которые позволяют заместить им данный участок изображения;
  • этапами «примерки» фрактала к содержимому конкретного домена могут быть:
    - идентификация домена (подходит ли он в качестве кандидата на представление данным фракталом,
    - коррекция фона и огрубление — своебразная калибровка характеристик домена под фрактал. Здесь определяются параметры необходимых преобразований;
    - оценка «погрешности» аппроксимации, с учетом которой принимается решение, будет ли фрактал при сформированных параметрах использоваться в данном домене.

На практике используются множество усовершенствований алгоритма, позволяющих сократить трудоемкость фрактального сжатия. Однако, оно по-прежнему требует значительных ресурсов компьютеров и занимает относительно много времени. В этом состоит недостаток данного подхода. Еще одно ограничение, препятствующее широкому распространению фрактального сжатия — это проблемы с патентованием.

Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте идею и область применения фрактального сжатия изображений.
2. Пользуясь рис.6.12, поясните особенности аффинных преобразований изображений. Как такие преобразования используются во фрактальном сжатии.
3. На примере, показанном на рис.6.13, поясните использование систем итерированных функций (СИФ) для посторения сложных изображений из фракталов.
4. Дайте общую характеристику алгоритма фрактального сжатия изображений.
5. Опираясь на рис.6.14, поясните этапы «примерки» фрактала, содержащегося в обрабатываемом кванте изображения, к содержимому очередного домена.
О дисциплине ТИК
Почему «Теория информации и кодирования» - одна из самых интересных дисциплин, которые изучают будущие системщики и защитники информации?

В ней сочетаются золотая классика и самая актуальная современность computer-science.

продолжение
О сайте
Здесь вы найдете материалы, которые помогут в изучении дисциплины “Теория информации и кодирования” (ТИК) в том виде, как она преподается на кафедре ЭВМ ДИИТа.

На сайте размещены методические материалы:
  • электронный конспект лекций;
  • методическое обеспечение к лабораторным работам;
  • полезные ссылки.

продолжение
© 2008-2013 • Теория информации и кодирования
UP