11. Основные модели для анализа передачи сигналов
Курс “Теория информации и кодирования”

Детерминированные сигналы
Случайные сигналы. Спектр прямоугольных импульсов
Модель канала передачи
Искажения формы импульсов фильтром
Влияние «шума» в канале передачи. Помехоустойчивость сигналов

11.1 Детерминированные сигналы

Детерминированные сигналы в силу своей полной определенности не способны непосредственно передавать информацию. Однако, они могут быть носителями информационных сигналов (как например, радиоволны, которые позволяют переносить голосовой сигнал на большие расстояния).

На практике как носители широко используются гармонические сигналы и периодические последовательности прямоугольных импульсов. В качестве моделей применяются временное и спектральное отображение. Первое удобно для анализа формы сигнала и ее искажений. Второе — для анализа взаимодействия сигнала с каналом передачи.

На рисунке показано аналитическое описание, а также временная и спектральные диаграммы (амплитудная и фазовая) простого гармонического сигнала. Временная диаграмма отображает период сигнала. В дальнейшем нас будут интересовать именно амплитудные диаграммы, которые характеризуют распределение энергии сигнала в области частот.

Важно, что амплитудные спектры любых периодических сигналов состоят из линий на частотах кратных основной частоте 1/T: fk=k/T. При этом амплитуды Аk однозначно определяются формой сигнала x(t) внутри его периода.
На практике это означает, что для любого периодического сигнала заданной формы можно рассчитать характеристики его решетчатого спектра и напротив - восстановить по такому спектру исходную форму сигнала.

Использование спектральной модели позволяет удобно анализировать искажения сигналов при воздействии на отдельные составляющие спектра.

На рисунке показано восстановление формы прямоугольных импульсов с использованием ограниченного числа полос спектра. Отметим, что в данном случае четные составляющие Ak имеют нулевую амплитуду.

Как видно, чем более высокочастотные составляющие спектра участвуют в восстановлении исходного сигнала, тем ближе эта форма сигнала к идеальным прямоугольным импульсам.






11.2 Случайные сигналы. Спектр прямоугольных импульсов

Сигналы, которые несут информацию, должны содержать элемент непредсказуемости, то есть, случайности. Соответственно, в отличие от детерминированных сигналов они являются непериодическими. Отсюда следует, что их спектр будет не линейчатым, а сплошным.
Формулы такого спектрального преобразования приведены ниже (здесь x(t) — вещественная функция, а X(f) – комплексная).





Важнейшим для практики является случай прямоугольного импульса. Его иллюстрирует рисунок.

Здесь важно следующее:

- сигнал и спектр принято рассматривать как симметричные относительно нулевого момента времени и нулевой частоты. Разумеется, отрицательные время и частота — математическая абстракция. Однако, она удобна, поскольку, как мы увидим в дальнейшем, на практике используются приемы «сдвига» спектра вдоль оси частот;

- значения частоты, при которых функция спектральной плотности |X(jω)| обращается в 0, кратны 1/τ (обратной величине длительности импульса). Таким образом, ширина спектра прямоугольного импульса обратно пропорциональна его длительности;

- спектр идеального прямоугольного импульса бесконечен по ширине, при этом с увеличением частоты спектральная плотность убывает. На практике это означает, что такой импульс невозможно передать без искажений.

Разумеется, реальная полоса частот передаваемых сигналов также не бесконечна.

Существуют несколько подходов к ее выбору (рисунок):

a) полоса содержит половину энергии сигнала;
б) полоса при максимальной мощности сигнала пропускает столько же энергии, сколько содержит весь спектр;
в) полоса включает главный лепесток (между двумя нулевыми значениями Gx(f) – ширина полосы — 2/τ). Он содержит порядка 2/3 энергии сигнала;
г) полоса содержит 99% энергии сигнала;
д) отношение энергии сигнала внутри и вне полосы составляет 35 или 50 дБ.

На практике наибольшее распространение получил вариант в). Здесь ширина полосы для положительного диапазона частот составляет 1/τ. При переносе всего спектра в область положительных частот ширина полосы увеличивается до 2/τ. Отметим, что для некоторых видов импульсных сигналов применение такого подхода осложняется тем, что функция Gx(f) не имеет ярко выраженных нулевых значений.

При передаче сигнала в физической среде его энергия неизбежно рассеивается и сигнал, соответственно, затухает. На практике величина затухания может различаться для разных частотных составляющих его спектра. В таком случае форма принятого сигнала будет искажена. Чтобы анализировать влияние канала передачи на величину затухания и форму сигнала используют удобную обобщенную модель их взаимодействия (рисунок).

11.3 Модель канала передачи

С позиций воздействие на сигнал канал может быть представлен как фильтр, который преобразует временную и спектральную характеристики x(t), X(f) входного сигнала во временную и спектральную характеристики y(t), Y(f) выходного сигнала. Это воздействие определяется передаточной характеристикой фильтра h(t), H(f).

Для практически важного случая линейного фильтра во временной и в частотной области соотношение выходного и входного сигнала, а также передаточной функции фильтра определяется формулами, приведенными на рисунке. Первая из этих двух формул называется интегралом свертки.

Покажем применение этого подхода на простом примере, когда требуется определить характеристики не-искажающего фильтра (его также именуют «идеальным фильтром»). Он описывается следующими формулами:




Первая из формул говорит, что фильтр может масштабировать амплитуду сигнала и сдвигать его во времени, но не должен влиять на форму. Вторая формула получена выполнением преобразования Фурье для первой. Наконец, третья формула исходя из второй в явном виде задает передаточную функцию фильтра в частотной области.

Как видно, идеальный фильтр должен отвечать двум требованиям: затухание амплитуды сигнала одинаково для всех частотных составляющих и вместе с тем, зависимость фазы от частоты линейна. Второе требование в отличие от первого интуитивно не очевидно.

В пределе для полной передачи спектра идеального импульса нужен канал (фильтр) с бесконечно широкой полосой. Очевидно, что физически он не реализуем. Практическим приближением является полосовой «идеальный фильтр», который пропускает сигналы в полосе частот от минимальной fl до максимальной fu (ширина полосы Wf = fu - fl ). Наряду этим широко используются модели «идеальных фильтров» низких частот (fl =0) и высоких частот (fu →∞) - рисунок.


На практике добиться «идеальной» крутизны срезов передаточных функций фильтров невозможно. Аппроксимация реализуемых передаточных характеристик с помощью соотношения Баттерворта показана на рисунке.

Как видно, задавая значение параметра n, можно выбирать степень приближения характеристики фильтра к идеальной. При этом стоимость технической реализации фильтра существенно возрастает с ростом значения n.





11.4 Искажения формы импульсов фильтром

Соотношением ширины полосы сигнала Wp и полосы канала передачи Wf оказывает определяющее влияние на степень искажения прямоугольных импульсов. Качественное представление здесь дает следующий рисунок.

Как видно, если ширина полосы канала существенно превышает полосу сигнала, то искажения прямоугольного импульса незначительны. Как ни странно, такой вариант не является предпочтительным для передачи данных. Дело в том, что для верной передачи значения бита здесь необходимо всего лишь безошибочно зафиксировать наличие импульса, а его форма значения не имеет. С другой стороны используемая для передачи ширина полосы является дефицитным ресурсом (в частности, здесь возможно организовать передачу других сигналов). Таким образом, вариант, когда Wp << Wf не эффективен.

В противоположном варианте, когда для передачи импульсных сигналов выделяется излишне узкая полоса частот (Wp >> Wf), затухание сигнала оказывается слишком значительным, что приводит к росту вероятности ошибок.

Наиболее благоприятен промежуточный вариант, когда ширина полосы сигнала и канала близки (Wp ≈ Wf). В этом случае канал обеспечивает передачу большей части энергии импульса, соответственно, его затухание минимально.

Возникающие искажения безусловно создают трудности при приеме сигналов. В частности, проявляется влияние предыдущих сигналов на последующие — так называемая «межсигнальная интерференция». Это явление иллюстрирует рисунок.





.
.
.



Как видно, амплитуды сигналов (а следовательно, условия их безошибочного распознавания) существенно зависят от того, какие сигналы им предшествовали. В дальнейшем мы познакомимся с методами устранения интерференции.

11.5 Влияние «шума» в канале передачи. Помехоустойчивость сигналов

Если искажения сигналов при взаимодействии с каналом закономерны и потому могут быть компенсированы, то помехи при передаче часто носят случайный характер. Их непредсказуемость затрудняет исключение ошибок при распознавании.

Источники помех (или «шума») могут иметь как естественное, так и искусственное происхождение. К искусственным относятся помехи от родственных источников передачи данных, импульсные помехи коммутации. К естественным — атмосферные помехи, электромагнитные поля от космических источников.

Большинство таких шумов могут быть устранены за счет правильного проектирования системы передачи (фильтрация, экранирования, выбор оптимального местоположения передатчика и т. д.). Однако, существует один практически неустранимый источник случайных помех — это так называемый «тепловой» шум, вызываемый тепловым движением электронов в элементах схем (резисторах, проводниках и т. д.).

Тепловой шум можно описать как Гауссов случайный процесс с нулевым средним. Его особенность в том, что спектральная плотность мощности равномерно распределена во всей полосе частот, которая практически используется в системах связи. В связи с этим его называют «белым шумом». Двусторонняя спектральная плотность для «белого шума» Gn(f) = N0/2 (Ватт/Гц).

Чтобы уверенно распознавать значение сигнала на фоне помех необходимо иметь определенный «запас прочности». В качестве его индикатора нередко используют отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума (S/N – Signal/Nois). Для цифровой связи более удобно использование отношения энергии сигнала к удельной мощности шума: Eb/No. Рассмотрим их соотношение.
Можно выразить энергию бита через мощность сигнала и время его передачи: Eb=STb. Поскольку время и скорость передачи битов взаимно обратны (Tb=1/R), Eb=S/R. С другой стороны, если в качестве помехи рассматривается «белый шум», то ее полная мощность пропорциональна используемой ширине полосы частот W: N=WNo. Таким образом, приходим к следующим соотношениям:




Как видно, этот показатель помимо собственно отношения мощностей сигнала и шума учитывает также удельную эффективность использования полосы частот для обеспечения скорости передачи (Гц/бит за секунду). Это позволяет сравнивать между собой способы передачи, обеспечивающие разную «плотность» использования полосы. При этом, как и показатель S/N, величина Eb/No тоже безразмерна: Джоуль/(Ватт/Гц) = Ватт-секунда/Ватт-секунда.

Важнейшим индикатором качества передачи дискретных сообщений является зависимость вероятности появления ошибочного бита pb от величины Eb/No. Качественно такая зависимость показана на рисунке.

Подобные кривые будут отличаться для различных способов передачи (например, для синхронной или асинхронной передачи сигналов, а также разных способов модуляции). Это позволит нам в дальнейшем сравнивать эффективность таких способов.
О дисциплине ТИК
Почему «Теория информации и кодирования» - одна из самых интересных дисциплин, которые изучают будущие системщики и защитники информации?

В ней сочетаются золотая классика и самая актуальная современность computer-science.

продолжение
О сайте
Здесь вы найдете материалы, которые помогут в изучении дисциплины “Теория информации и кодирования” (ТИК) в том виде, как она преподается на кафедре ЭВМ ДИИТа.

На сайте размещены методические материалы:
  • электронный конспект лекций;
  • методическое обеспечение к лабораторным работам;
  • полезные ссылки.

продолжение
© 2008-2013 • Теория информации и кодирования
UP